Question

正項等比數列{a_n}中，存在兩項a_m，a_n使得

am•an

=4a₁，且a₆=a₅+2a₄，則

1

m

+

4

n

最小值

 

．

Answer 1

考點：基本不等式,等比數列的通項公式

專題：不等式的解法及應用

分析：利用等比數列的通項公式可得q，進而點到m+n=6，再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：設正項等比數列{a_n}的公比為q＞0．
∵

am•an

=4a₁，且a₆=a₅+2a₄，
∴

a1qm-1•a1qn-1

=4a1，a1q5=a1q4+2a1q3，
化為q

m+n-2

2

=4，q²-q-2=0，q＞0．
解得q=2，∴

m+n-2

2

=2，即m+n=6．
∴

1

m

+

4

n

=

1

6

(m+n)(

1

m

+

4

n

)=

1

6

(1+4+

n

m

+

4m

n

)≥

1

6

(5+2

n m • 4m n

)=

3

2

，當且僅當n=2m=4時取等號．
∴

1

m

+

4

n

最小值為

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查了等比數列的通項公式、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．