Question

【題目】如圖，已知四邊形和均為平行四邊形，點在平面內的射影恰好為點，以為直徑的圓經過點， ， 的中點為， 的中點為，且．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求幾何體的體積．　

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明過程見解析；（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）此問題是要證面面垂直，由其判定定理，可根據“面面垂直線面垂直線線垂直”的思路去證明，根據題意可考慮與平面中的垂直；（Ⅱ）根據題意，將幾何體分割成三棱錐和四棱錐兩個幾何體，再進行求解即可.

試題解析：（Ⅰ）∵點在平面內的射影恰好為點，∴平面，

又平面，∴平面平面．

又以為直徑的圓經過點， ， ，∴為正方形．

又平面平面，∴平面．

∵平面， ，

又，∴，

又的中點為，∴，

∵，∴，

又平面， 平面， ，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（Ⅱ）連接，由（Ⅰ）知， 平面，∴．

又， ，

∴平面，

又，∴平面．

∴．

∴幾何體的體積為4．