Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n-1=a_n-1（n≥2且n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設b_n=

an+1

(an+1)(an+1+1)

（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）S_n-1=a_n-1（n≥2且n∈N^*）⇒S_n=a_n+1-1，兩式相減得

an+1

an

=2，又a₁=1，易知數列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數列，從而可求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）利用裂項法易知b_n=

an+1

(an+1)(an+1+1)

=

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）（n∈N^*），從而可求得數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n-1=a_n-1（n≥2且n∈N^*），
∴S_n=a_n+1-1，
兩式相減得：a_n=a_n+1-a_n，
∴

an+1

an

=2，又a₁=1，
∴數列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數列，
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）；
（2）∵b_n=

an+1

(an+1)(an+1+1)

=

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）（n∈N^*），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）]
=2（

1

2

-

1

2n+1

）
=1-

2

2n+1

．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等比關系的確定及其通項公式的應用，突出裂項法求和的考查，考查轉化思想與運算求解能力．