Question

【題目】已知函數，在一個周期內的圖像如圖所示.

（I）求函數的解析式；

（II）設，且方程有兩個不同的實數根，求實數的取值范圍以及這兩個根的和.

Answer 1

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.

【解析】

（I）根據三角函數的圖像的最高點，求得的值，根據三角函數的周期，求得的值，根據函數圖像上的特殊點，求得的值，由此求得函數的解析式.（II）畫出函數的圖像與函數的圖像，根據圖像求得的的取值范圍.根據對稱性求得兩根的和.

（I）由題設圖象，易得，，

所以，所以.

所以.

因為函數的圖象經過點，

所以，即.

又因為，所以，

所以，所以.

故所求函數的解析式為.

（Ⅱ）由題意，知方程有兩個不同的實數根等價于函數的圖象與的圖象有兩個不同的交點.

因為，

易畫出函數的圖象與函數的圖象（如圖所示）.

依據圖象可知：

當或時，

直線與曲線有兩個不同的交點，

即方程有兩個不同的實數根，

故所求實數的取值范圍為.

①當時，與的圖象有兩交點且關于直線對稱，設此時方程兩個不同的實數根分別為，，

所以當，即

②當時，與的圖象有兩交點且關于直線對稱，設此時方程兩個不同的實數根分別為，，

所以，即

綜上，當時，所求方程的兩根之和為

當時，所求方程的兩根之和為.