Question

設直線l與直線x-y-5=0之間的距離是3

2

，且直線l不過第四象限．
（1）求直線l的方程；
（2）若x、y滿足直線l的方程，求d=

x2+y2+6x-10y+34

+

x2+y2-4x-30y+229

的最小值．

Answer 1

分析：（1）設直線l的方程為x-y+c=0，利用直線l與直線x-y-5=0之間的距離是3

2

，即可求出直線的方程；
（2）由題設條件知，p=

(x+3)2+(y-5)2

+

(x-2)2+(y-15)2

可看作點A（-3，5）和B（2，15）到直線x-y+1=0，上的點的距離之和，作A（-3，5）關于直線x-y+1=0，對稱的點A′（4，-2），則 dmin=|A′B|=

293

解答：解：（1）由已知，可設直線l的方程為x-y+c=0
∵直線l與直線x-y-5=0之間的距離是3

2

∴

|c+5|

2

=3

2

∴|c+5|=6
∴c=1或-11
∵直線l不過第四象限
∴c=1
∴直線l的方程為x-y+1=0；
（2）d=

x2+y2+6x-10y+34

+

x2+y2-4x-30y+229

=

(x+3)2+(y-5)2

+

(x-2)2+(y-15)2

可看作是直線x-y+1=0上的動點P（x，y）到定點A（-3，5）和B（2，15）的距離之和，
由于定點A（-3，5）和B（2，15）在直線x-y+1=0的同側，可求A（-3，5）關于直線x-y+1=0對稱的點A′，利用兩邊之和大于第三邊，可知|A^′B|最小
求得A（-3，5）關于直線x-y+1=0對稱的點A′（4，-2），則 dmin=|A′B|=

293

點評：本題以平行直線的距離為載體，考查直線方程，考查距離和的最小，解題的關鍵是將問題等價于直線x-y+1=0上的動點P（x，y）到定點A（-3，5）和B（2，15）的距離之和．