Question

【題目】某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需另投入成本C（x），當年產量不足80千件時，C（x）= x2+10x（萬元）；當年產量不小于80千件時C（x）=51x+ ﹣1450（萬元），通過市場分析，若每件售價為500元時，該廠本年內生產該商品能全部銷售完．
（1）寫出年利潤L（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；
（2）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲的利潤最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵每件商品售價為0.05萬元，

∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，

①當0＜x＜80時，根據年利潤=銷售收入﹣成本，

∴L（x）=（0.05×1000x）﹣ ﹣10x﹣250=﹣ +40x﹣250；

②當x≥80時，根據年利潤=銷售收入﹣成本，

∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣ +1450﹣250=1200﹣（x+ ）．

綜合①②可得，L（x）=

（2）解：①當0＜x＜80時，L（x）=﹣ +40x﹣250=﹣ +950，

∴當x=60時，L（x）取得最大值L（60）=950萬元；

②當x≥80時，L（x）=1200﹣（x+ ）≤1200﹣2 =1200﹣200=1000，

當且僅當x= ，即x=100時，L（x）取得最大值L（100）=1000萬元．

綜合①②，由于950＜1000，

∴年產量為100千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大

【解析】（1）分兩種情況進行研究，當0＜x＜80時，投入成本為C（x）=） +10x（萬元），根據年利潤=銷售收入﹣成本，列出函數關系式，當x≥80時，投入成本為C（x）=51x+ ﹣1450，根據年利潤=銷售收入﹣成本，列出函數關系式，最后寫成分段函數的形式，從而得到答案；（2）根據年利潤的解析式，分段研究函數的最值，當0＜x＜80時，利用二次函數求最值，當x≥80時，利用基本不等式求最值，最后比較兩個最值，即可得到答案．