Question

設P(x₀,y₀)是橢圓=1(a＞b＞0)上任意一點,F₁為其左焦點.

(1)求|PF₁|的最小值和最大值;

(2)在橢圓=1上求一點P,使這點與橢圓兩焦點的連線互相垂直.

Answer 1

解:(1)對應于F₁的準線方程為x=－,根據橢圓的第二定義:=e,

∴|PF₁|=a+ex₀.

又－a≤x₀≤a,

∴當x₀=－a時,|PF₁|_min=a+(－a)= a－c;

當x₀=a時,|PF₁|_max=a+·a=a+c.

(2)∵a²=25,b²=5,

∴c²=20,e²=.

∵|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²,

∴(a+ex₀)²+(a－ex₀)²=4c².

將數據代入得25+x₀²=40.

∴x₀=±.代入橢圓方程得P點的坐標為(,),(,－),(－,), (－,

－).

點評:|PF₁|、|PF₂|都是橢圓上的點到焦點的距離,稱作焦半徑,而|PF₁|=a+ex₀,|PF₂|=a－ex₀稱作焦半徑公式.當橢圓的焦點在y軸上時,仿照上面的推導,焦半徑公式成為|PF₁|=a+ey₁,|PF₂|=  a－ey₁.

橢圓上距焦點最近或最遠的點是長軸的端點.