Question

已知不等式x²-3x+t＜0的解集為{x|1＜x＜m，x∈R}
（1）求t，m的值；
（2）若函數f（x）=-x²+ax+4在區間（-∞，1]上遞增，求關于x的不等式log_a（-mx²+3x+2-t）＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）由不等式與相應方程的關系得：1，m是方程x²-3x+t=0的兩個根，再依據根與系數的關系即可求得t，m的值；
（2）根據函數f（x）=-x²+ax+4在區間（-∞，1]上遞增，其圖象的對稱軸應在直線x=1的右側，從而得到a的范圍，再將原不等式利用對數函數的單調性去掉對數符號轉化為整式不等式求解即可．

解答：解：（1）∵不等式x²-3x+t＜0的解集為{x|1＜x＜m，x∈R}
∴

1+m=3 m=t

得

m=2 t=2

（2）∵f（x）=-(x-

a

2

)2+4+

a2

4

在（-∞，1]上遞增，
∴

a

2

≥1，a≥2
又lo

g	(-mx2+3x+2-t) a

=lo

g	(-2x2+3x) a

＜0，
由a≥2，可知0＜-2x²+3x＜1
由2x²-3x＜0，得0＜x＜

3

2

由2x²-3x+1＞0得x＜

1

2

或x＞1
故原不等式的解集為{x|0＜x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

}

點評：本小題主要考查一元二次不等式與一元二次方程、對數不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．