Question

（本小題12分）已知函數．

(1)證明函數的圖像關于點對稱;

（2）若，求；

（3）在（2）的條件下，若 ，為數列的前項和，若對一切都成立，試求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1） 證明：見解析；（2） ；（3）   .

【解析】(1)證明f(x)關于點 對稱，只須證明：設、是函數圖像上的兩點, 其中且,即證：即可.

(2)利用（1）的結論，采用倒序相加的方法求和即可。

（3）當時，，  當時，， .可求出 

然后再本小題可轉化為對一切都成立，即恒成立，又即

恒成立,再構造,研究其最大值即可。

（1） 證明：因為函數的定義域為， 設、是函數圖像上的兩點, 其中且,

則有 

因此函數圖像關于點對稱             ……………………………………4分

（2）由（1）知當時，

     ①      ②

①+②得 ………………………………………………………………8分

（3）當時，

     當時，，

當時， …=

∴  （）

又對一切都成立，即恒成立

∴恒成立，又設,所以在上遞減,所以在處取得最大值

∴，即

所以的取值范圍是                          ………………12分