Question

（1）畫出函數y=|x|（x-4）的圖象；　　
（2）利用圖象回答：當k為何值時，方程|x|•（x-4）=k有一解？有兩解？有三解？

Answer 1

解：（1）將函數化簡，得：

∴當x≥0時，圖象取開口向上的拋物線的y軸右側，
當x＜0時，圖象取開口向下的拋物線左側
所得圖象如右圖 …
（2）在同一坐標系里作出直線y=k，它是一條與x軸平行的直線，
再根據k值的變化，來觀察觀察它與函數y=f（x）圖象公共點的個數：
①當k＞0或k＜-4時，直線y=k與函數y=f（x）圖象有唯一公共點
∴當k＞0或k＜-4時，方程|x|•（x-4）=k有一解 …
②當k=0或k=-4時，直線y=k與函數y=f（x）圖象有兩個公共點
∴k=0或k=-4時，方程|x|•（x-4）=k有兩解 …
③當-4＜k＜0時，直線y=k與函數y=f（x）圖象有三個公共點
∴當-4＜k＜0時，方程|x|•（x-4）=k有三解 …
綜上所述：當k＞0或k＜-4時，原方程有一解；當k=0或k=-4時，原方程有兩解；當-4＜k＜0時，原方程有三解．
分析：（1）根據絕對值的意義將函數去絕對值，化簡為，再分x≥0與x＜0兩部分對所作的拋物線進行截取，可得符合題意的圖象；
（2）同一坐標系里作出y=f（x）與y=k的圖象，然后根據k值的變化觀察兩圖象的交點的個數，可得原方程解的個數，最后綜合可回答提出的問題．
點評：本題考查了函數的圖象與性質、函數圖象的作法等知識點，屬于中檔題．遇到絕對值問題，根據定義去絕對值，是解題的常用思路，解題過程中還要注意分類討論及最后的綜合等細節．