Question

已知函數f（x）=x³-9x²cosα+48xcosβ，g（x）=f'（x），且對任意的實數t均有g（1+e^-|t|）≥0，g（3+sint）≤0．
（I）求g（2）；
（II）求函數f（x）的解析式；
（Ⅲ）記函數h（x）=f（x）-

2

3

x3+(a+9)x2-（b+24）x（a，b∈R），若y=h（x）在區間[-1，2]上是單調減函數，求a+b的最小值．

Answer 1

分析：（I）由題得，g（x）=3x²-18xcosα+48cosβ，又1+e^-|t|∈（1，2]，3+sint∈[2，4]，從而g（x）≥0在x∈（1，2]恒成立，g（x）≤0在x∈[2，4]恒成立，最后得出g（2）的值即可；
（II）先求出g（x）=0的另一根的取值范圍，得出2+x₀=6cosα，最后得到得cosα=1，cosβ=

1

2

的值，代入函數解析式即可；
（III）由題意得出關于a，b的不等關系：

2a+b-1≥0 4a-b+4≤0.

，作出不等式組表示的平面區域，利用線性規劃的方法解決即可．

解答：解：（I）由題得，g（x）=3x²-18xcosα+48cosβ，又1+e^-|t|∈（1，2]，3+sint∈[2，4]，
知g（x）≥0在x∈（1，2]恒成立，g（x）≤0在x∈[2，4]恒成立，
所以g（2）=0…（5分）
（II）設g（x）=0的另一根為x₀，由條件得x₀≥4，而2+x₀=6cosα，
所以6cosα≥6，又6cosα≤6，所以6cosα=6，得cosα=1，cosβ=

1

2

，
即f（x）=x³-9x²+24x．                   
（Ⅲ）∵y=h（x）在區間[-1，2]上是單調減函數，∴h′（x）=x²+2ax-b≤0在區間[-1，2]上恒成立．                    
根據二次函數圖象可知h′（-1）≤0且h′（2）≤0，
即：

1-2a-b≤0 4+4a-b≤0

也即

2a+b-1≥0 4a-b+4≤0.

]
作出不等式組表示的平面區域如圖：
當直線z=a+b經過交點P（-

1

2

，2）時，z=a+b取得最小值z=-

1

2

+2=

3

2

，
∴z=a+b取得最小值為

3

2

…（15分）

點評：本題考查待定系數法求解析式、函數與方程的綜合運用、簡單線性規劃的應用問題，解答線性規劃的問題的關鍵是應用數形結合思想方法，綜合性強，難度較大．