Question

已知△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量

m

=(2sinB，

3

)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

⊥

n

．
（1）求銳角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

m

⊥

n

，

m

=(2sinB，

3

)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)

m

•

n

=0可得，2sin(2B+

π

3

)=0，又因?yàn)?span id="iy2igi2" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">0＜B＜

π

2

，得到答案B=

π

3

．
（2）根據(jù)余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，有根據(jù)基本不等式可知2²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac∴ac≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取到等號(hào)）
代入s△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

，得到答案．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，

m

=(2sinB，

3

)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)

m

•

n

=0

m

•

n

=(2sinB，

3

)•(2cos2

B

2

-1，cos2B)
=2sinB(2cos2

B

2

-1)+

3

cos2B_ =sin2B+

3

cos2B
=2sin(2B+

π

3

)=0
又∵0＜B＜

π

2

，∴2B+

π

3

=π，∴B=

π

3

（2）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB
∴2²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac∴ac≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取到等號(hào)）
∴s△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

∴△ABC的面積S_△ABC的最大值為

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量數(shù)量積和向量垂直之間的關(guān)系．即兩向量互相垂直時(shí)二者的數(shù)量積等于0．