Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論在上的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)，若的最大值為0，求的值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）1

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)，由，分和兩種情況討論求解.

（Ⅱ），易得是上的減函數(shù)，存在唯一正實數(shù)滿足，，則，再根據(jù)的最大值為0建立方程求解.

（Ⅰ）因為，

所以在上單調(diào)遞減且

①若，即，則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；

②若，即，則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.

綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）根據(jù)題意所以，

因為，所以在上是減函數(shù)，

因為，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以，即.

因為，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以，即.

所以，

又因為，，

所以存在唯一正實數(shù)滿足，即（*）

當(dāng)時，，是上的增函數(shù)；

當(dāng)時，，是上的減函數(shù)；

所以，將（*）式代入整理得，

由題設(shè)而，所以，即，

所以，所以.