Question

【題目】已知集合，對于，，定義與的差為；與之間的距離為.

（1）若，試寫出所有可能的，；

（2），證明：；

（3），三個數中是否一定有偶數？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）一定有偶數，理由見解析

【解析】

（1）由題意結合新概念可直接得解；

（2）先證明、時，均有，由新概念運算即可得證；

（3）設，，，由（2）可得，，，設是使成立的的個數，即可得，即可得解.

（1）由題意可得，所有滿足要求的，為：

，；

，；

，；

，.

（2）證明：令，，，

對，

當時，有；

當時，有.

所以

.

（3），，，，，三個數中一定有偶數.

理由如下：

設，，，

，，，

記，由（2）可知: ，

，，

所以中1的個數為，中1的個數為.

設是使成立的的個數，則.

由此可知，，，三個數不可能都是奇數，

即，，三個數中一定有偶數.