Question

【題目】已知，函數（是自然對數的底數）．

（Ⅰ）若，證明：曲線沒有經過點的切線；

（Ⅱ）若函數在其定義域上不單調，求的取值范圍；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）假設存在切線經過，設切點為，利用切線方程推出矛盾得到證明.

（Ⅱ）函數在其定義域上不單調，等價于有變號零點，取導數為0，參數分離，設新函數利用函數的單調性求取值范圍.

解：（Ⅰ）因為，所以，此時，

設曲線在點處的切線經過點

則曲線在點處的切線

所以 化簡得：

令，則，

所以當時，，為減函數，

當時， ， 為增函數，

所以，所以無解

所以曲線的切線都不經過點

（Ⅱ）函數的定義域為，因為，

所以在定義域上不單調，等價于有變號零點，

令，得，令．

因為，令，，

所以是上的減函數，又，故1是的唯一零點，

當，，，遞增；

當，，，遞減；

故當時，取得極大值且為最大值，所以，即的取值范圍是