Question

【題目】已知．

（1）設是的極值點，求實數的值，并求的單調區間：

（2）時，求證：．

Answer 1

【答案】（1） 單調遞增區間為，單調遞減區間為； （2）見解析.

【解析】

（1）由題意，求得函數的導數，由是函數的極值點，解得，又由，進而得到函數的單調區間；

（2）由（1），進而得到函數的單調性和最小值，令，利用導數求得在上的單調性，即可作出證明.

（1）由題意，函數的定義域為，

又由，且是函數的極值點，

所以，解得，

又時，在上，是增函數，且，

所以，得，，得，

所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）由（1）知因為，在上，是增函數，

又（且當自變量逐漸趨向于時，趨向于），

所以，，使得，

所以，即，

在上，，函數是減函數，

在上，，函數是增函數，

所以，當時，取得極小值，也是最小值，

所以，

令，

則，

當時，，函數單調遞減，所以，

即成立，