Question

（2012•徐州模擬）選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線AB經過圓上O的點C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交于直線OB于E，D，連接EC，CD，若tan∠CED=

1

2

，圓O的半徑為3，求OA的長．

Answer 1

分析：連接OC，在△AOB中，利用等腰三角形三線合一得到OC⊥AB，再結合切線的判定定理，得到AB與圓O相切于C點．又因為ED是圓O的直徑，可得∠E+∠EDC=90°，利用等角的余角相等，得到∠BCD=∠E，利用公共角∠CBD=∠EBC，得到△BCD∽△BEC，所以BC²=BE•BD．最后在Rt△CDE中，利用正切的定義得到

CD

CE

=

1

2

，所以

BD

BC

=

CD

CE

=

1

2

，設BD=x，則BC=2x，可得（2x）²=x（x+6），解之得x=2，從而得到OA=OB=BD+OD=5．

解答：解：連接OC，
∵△AOB中，OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB
∵OC是圓O的半徑，∴AB與圓O相切于C點．
又∵ED是圓O的直徑，
∴∠ECD=90°，可得∠E+∠EDC=90°
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC
∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD=∠EBC
∴△BCD∽△BEC，

BC

BE

=

BD

BC

=

CD

CE

，可得BC²=BE•BD…①
∵Rt△CDE中，tan∠CED=

CD

CE

=

1

2

，
∴

BD

BC

=

CD

CE

=

1

2

，設BD=x，則BC=2x
代入①，得（2x）²=x（x+6），解之得x=2
∴OA=OB=BD+OD=5

點評：本題給出圓中的直角三角形和底邊與圓相切的等腰三角形，欲求等腰三角形的腰長，著重考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形三角函數的定義和與圓有關的比例線段等知識點，屬于中檔題．