Question

已知函數f（x）=ax²+bx+c，x∈[0，6]的圖象經過（0，0）和（6，0）兩點，如圖所示，且函數f（x）的值域為[0，9]．過動點P（t，f（t））作x軸的垂線，垂足為A，連接OP．
（I）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）記△OAP的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

分析：（I）方法一：由二次函數f（x）的圖象知：對稱軸，頂點坐標，且過原點；則方法一，由

f(0)=0 - b 2a =3 4ac-b2 4a =9

，得a，b，c，從而得f（x）；
方法二：設f（x）的定點式方程，由f（x）過原點，可得f（x）的解析式；
（II）△OAP的面積為S=

1

2

•|OA|•|AP|=

1

2

t（6t-t²）=3t²-

1

2

t³，t∈（0，6），對S求導，利用導數求出S在定義域內的最值即可．

解答：解：（I）由題意，知：函數f（x）的對稱軸為x=3，頂點為（3，9）；
方法一：由

f(0)=0 - b 2a =3 4ac-b2 4a =9

得：a=-1，b=6，c=0；
所以，f（x）=6x-x²，x∈[0，6]；
方法二：設f（x）=a（x-3）²+9，
由f（0）=0，得a=-1，所以，f（x）=6x-x²，x∈[0，6]；
（II）△OAP的面積為：S(t)=

1

2

|OA|•|AP|=

1

2

t(6t-t2)，t∈(0，6)，
對求導，得S′(t)=6t-

3

2

t2=

3

2

t(4-t)；
列出表格：

t	（0，4）	4	（4，6）
S'（t）	+	0	-
S（t）	單調增	極大值	單調減

由上表可得t=4時，三角形面積取得最大值．
即：S(t)max=S(4)=

1

2

×4(6×4-42)=16．

點評：本題考查了二次函數，三次函數模型的應用，并且利用導數求得三次函數在其定義域內的最值問題，屬于中檔題．