Question

已知圓C：（x+1）²+（y-2）²=2
（1）若圓C的切線在x軸和y軸的截距相等，求此切線的方程
（2）從圓外一點P（x₀，y₀）向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取最小值時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）當截距不為零時：設切線方程為

x

a

+

y

a

=1，根據圓心到切線的距離等于半徑求出a的值，即得切線方程，
當截距等于零時：設切線方程為y=kx（k≠0），同理可得k=2±

6

，從而得到圓的所有的切線方程．
（2）有切線的性質可得|PM|²=|PC|²-|CM|²，又|PM|=|PO|，可得2x₀-4y₀+3=0．動點P在直線2x-4y+3=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，過點O作直線2x-4y+3=0的垂線，垂足為P，垂足坐標即為所求．

解答：解：（1）當截距不為零時：設切線方程為

x

a

+

y

a

=1，即：x+y=a（a≠0），
圓C為：（x+1）²+（y-2）²=2，圓心為C（-1，2），到切線距離等于圓的半徑

2

所以

|-1+2-a|

2

=

2

，a=-1，3．
當截距等于零時：設切線方程為y=kx（k≠0），同理可得k=2±

6

．
所以所求切線方程為：x+y+1=0，或x+y-3=0，或y=(2+

6

)x或y=(2-

6

)x．
（2）∵PM⊥CM，∴|PM|²=|PC|²-|CM|²，又|PM|=|PO|，
∴（x₀+1）²+（y₀-2）²-2=x₀²+y₀²，整理得：2x₀-4y₀+3=0．
即動點P在直線2x-4y+3=0上，所以，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，
過點O作直線2x-4y+3=0的垂線，垂足為P，k_OP=-2
解方程組

y=-2x 2x-4y+3=0

，得 

x0=- 3 10 y0= 3 5

，所以點P坐標為(-

3

10

，

3

5

)．

點評：本題考查用點斜式、斜截式求直線方程的方法，體現了分類討論的數學思想，點到直線的距離公式，判斷
P在直線2x-4y+3=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，是解題的關鍵，屬于中檔題．