Question

已知橢圓C的對稱中心為坐標原點O，焦點在x軸上，左右焦點分別為F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，點在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C上的一點p在第一象限，且滿足PF₁⊥PF₂，⊙O的方程為x²+y²=4．求點p坐標，并判斷直線pF₂與⊙O的位置關系；
（3）設點A為橢圓的左頂點，是否存在不同于點A的定點B，對于⊙O上任意一點M，都有為常數，若存在，求所有滿足條件的點B的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓的標準方程，根據題意可求得焦點坐標，根據橢圓的定義和點（，）求得2a，進而根據a和c求得b，則橢圓的方程可得．
（2）設點P的坐標為（x，y），根據PF₁⊥PF₂，可得=0，把x和y代入整理可得方程與橢圓方程聯立求得x和y，即點P的坐標．進而可得直線PF₂的方程，進而可求得⊙O圓心O到直線PF₂的距離正好等于半徑，進而推斷直線PF₂與⊙O相切．
（3）設點M的坐標為（x，y），假設存在點B（m，n），對于⊙O上任意一點M，都有為常數，則可表示出|MB|²和|MA|²，代入中，進而可得求得m，n和λ，求得點B的坐標．
解答：解：（1）設橢圓的方程為，（a＞b＞0），由題意可得：
橢圓C兩焦點坐標分別為F₁（，0），F₂（，0）
由點（，）在該橢圓上，
∴2a=+=6．
∴a=3
又c=得b²=9-5=4，
故橢圓的方程為=1．
（2）設點P的坐標為（x，y）（x＞0，y＞0），則為．①
由PF₁⊥PF₂，得=0∴（x+）（x-）+y²=0
即x²+y²=5②
由①②聯立結合x＞0，y＞0解得：x=，y=，即點P的坐標為（，）
∴直線PF₂的方程為2x+y-2=0
∵圓x²+y²=4的圓心O到直線PF₂的距離d==2
∴直線PF₂與⊙O相切
（3）設點M的坐標為（x，y），則x²+y²=4
假設存在點B（m，n），對于⊙O上任意一點M，都有為常數，則
|MB|²=（x-m）²+（y-n）²，|MA|²=（x+3）²+y²
∴（常數）恒成立
可得（6λ+2m）x+2ny+13λ-m²-n²-4=0
∴
∴或（不合舍去）
∴存在滿足條件的點B，它的坐標為（-，0）．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程以及直線與橢圓與圓的關系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．