Question

已知公差d為正數的等差數列{a_n}和公比為q（q＞1）的等比數列{b_n}．
（1）若a₁＞0，且

an+1

an

≤

bn+1

bn

對一切n∈N^*恒成立，求證：d≤a₁q-a₁；
（2）若d＞1，集合{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}，求使不等式

2an+p

an

≤

bn+1+p+8

bn

成立的自然數n恰有4個的正整數p的值．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知

an+d

an

≤q，再由a_n＞0，知d≤a₁（q-1）．
（2）由題設條件知a_n=a₃+（n-3）d=2n-5，b_n=b₃q^n-3=2^n-3．再由

2an+p

an

≤

bn+1+p+8

bn

，知

2[2(n+p)-5]

2n-5

≤

2n-2+p+8

2n-3

，由此入手能夠推導出使不等式

2an+p

an

≤

bn+1+p+8

bn

成立的自然數n恰有4個的正整數p值為3．

解答：解：（1）∵

an+1

an

≤

bn+1

bn

，∴

an+d

an

≤q，∵a_n＞0，
∴d≤a_n（q-1）對一切n∈N*恒成立．∴d≤a_n（q-1）的最小值，又d＞0，q＞1，
∴d≤a₁（q-1）．
（2）∵1，2，3，4，5這5個數中成等比且公比q＞1的三數只能為1，2，4
∴只能是b₃=1，b₄=2，b₅=4，a₃=1，a₄=3，a₅=5，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n-5，b_n=b₃q^n-3=2^n-3．
∵

2an+p

an

≤

bn+1+p+8

bn

，∴

2[2(n+p)-5]

2n-5

≤

2n-2+p+8

2n-3

，
∴2+

4p

2n-5

≤2+

p+8

2n-3

，∴

4p

2n-5

≤

p+8

2n-3

．∵p＞0，
∴n=1，2顯然成立
當n≥3時，∴

4p

p+8

≤

2n-5

2n-3

，p≤

8(2n-5)

2n-1-2n+5

=

8

2n-1 2n-5 -1

∴當n=3時，p≤

8

3

=3

2

3

，當n=4時，p≤4

4

5

，當n=5時，p≤3

7

11

，當n=6時，p≤2

6

25

又設Cn=

2n-1

2n-5

，則由

Cn+1

Cn

=

2(2n-5)

2n-3

＞1，得n＞3.5，∴n≥4時Cn單調遞增.
∴當n＜6時p＜2

6

25

∴使不等式

2an+p

an

≤

bn+1+p+8

bn

成立的自然數n恰有4個的正整數p值為3

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．