Question

已知函數f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f （1））處的切線方程；
（2）當a＞0時，若f（x）在區間[1，e）上的最小值為-2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出f（1）及f′（1）的值，然后代入點斜式方程即可得到曲線y=f（x）在點（1，f （1））處的切線方程；
（2）確定函數的定義域，求導函數，利用導數的正負，分類討論，即可求得函數的單調區間，從而可求出f（x）在區間[1，e）上的最小值，建立等式可求出所求．

解答：解：解：（1）當a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+

1

x

，
∵f′（1）=0，f（1）=-2，∴切線方程為：y=-2．                                     
（2）函數f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域為（0，+∞）．
當a＞0時，f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

2ax2-(a+2)x-1

x

（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，
∴x=

1

2

或x=

1

a

，
當0＜

1

a

≤1，即a≥1時，f（x）在[1，e]上單調遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
當1＜

1

a

＜e時，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)=-2，不合題意；
當

1

a

≥e時，f（x）在[1，e]上單調遞減，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合題意，
故a的取值范圍為[1，+∞）．

點評：本題考查了導數的幾何意義，導數的幾何意義即在某點處的導數即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．利用導數研究函數在閉區間上的最值，一般是求出導函數對應方程的根，然后求出跟對應的函數值，區間端點的函數值，然后比較大小即可得到函數在閉區間上的最值．屬于中檔題．