Question

【題目】已知函數，a為常數.

（1）討論函數的單調性：

（2）若函數有兩個極值點，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）證明見解析

【解析】

(1)求導后分子所對應的二次函數,分情況討論的正負以及根與1的大小關系即可.

(2)由(1)的兩個極值點,滿足,所以,,則,將化簡整理為的函數即,構造函數求導證明不等式即可.

（1）函數的定義城為.

由題意,.

（ⅰ）若,則,于是,當且僅當時,,所以在單調遞減.

（ⅱ）若,由,得或,

當時,；

當時,；

所以在,單調遞減,單調遞增.

（ⅲ）若,則,

當時,；當時,；

所以在單調遞減,單調遞增

綜上所述,當時,函數在上單調遞減；

當時,函數在上單調遞減,上單調遞增；

當時,函數在上單調遞減,上單調遞增.

（2）由（1）知,有兩個極值點當且僅當.

由于的兩個極值點,滿足,所以,,則,

由于.

設

.

.

當時,,所以.

所以在上單調遞減,又.

所以,即.