Question

已知點P是圓x²+y²=1上的動點，點P在y軸上的射影為Q，設滿足條件的點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設過點N（1，0）且斜率為k₁（k₁≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A，O為坐標原點，直線OA的斜率為k₂，求k₁²+k₂²的最小值．

Answer 1

解：（1）設點P的坐標為（x₀，y₀），點M的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（0，y₀）．
由，得x=2x₀，y=y₀，即．
因為點P在圓x²+y²=1上，把點P代入圓x²+y²=1 可得 ，故點M的軌跡C的方程為．
（2）由題設知，直線l的方程為y=k₁（x-1），由，
得，其中，△=64k₁⁴-4（4k₁²+1）（4k₁²-4）=16（3k₁²+1）＞0．
設直線l與曲線C的兩交點坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則，所以，．
所以，，當且僅當時取等號，故 的最小值是．
分析：（1）設點P的坐標為（x₀，y₀），點M的坐標為（x，y），由，得x=2x₀，y=y₀，把點P坐標（x₀，y₀）代入圓x²+y²=1 消去x₀，y₀ 可得M的軌跡C的方程．
（2）設出直線l的方程為y=k₁（x-1），代入橢圓的方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數，得到，代入要求的式子利用基本不等式求得最小值．
點評：本題考查求點的軌跡方程的方法，向量坐標形式的運算，一元二次方程根與系數的關系，基本不等式的應用，
得到 是解題的關鍵．