Question

設⊙O為不等邊△ABC的外接圓，△ABC內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，P是△ABC所在平面內的一點，且滿足

PA

•

PB

=

c

b

PA

•

PC

+

b-c

b

PA2

（P與A不重合）．Q為△ABC所在平面外一點，QA=QB=QC．有下列命題：
①若QA=QP，∠BAC=90°，則點Q在平面ABC上的射影恰在直線AP上；
②若QA=QP，則

QP

•

PB

=

QP

•

PC

；
③若QA＞QP，∠BAC=90°，則

BP

CP

=

AB

AC

；
④若QA＞QP，則P在△ABC內部的概率為

S△ABC

S⊙O

（S_△ABC，S_⊙O分別表示△ABC與⊙O的面積）．
其中不正確的命題有

 

（寫出所有不正確命題的序號）．

Answer 1

分析：根據

PA

•

PB

=

c

b

PA

•

PC

+

b-c

b

PA2

，可得AP是∠BAC的平分線，利用QA=QB=QC，可得Q在平面ABC上的射影是△ABC的外心O，由QA=QP，可知P為

BC

的中點，由QA＞QP，則P在圓內，再對選項判斷，即可得出結論．

解答：解：∵

PA

•

PB

=

c

b

PA

•

PC

+

b-c

b

PA2

，
∴

PA

•

PB

-

PA2

=

c

b

（

PA

•

PC

-

PA2

），
∴

PA

•

AB

=

c

b

PA

•

AC

，
∴|

PA

|c•cos∠PAB=

c

b

|

PA

|•bcos∠PAC，
∴∠PAB=∠PAC，
∴AP是∠BAC的平分線，
∵QA=QB=QC，
∴Q在平面ABC上的射影是△ABC的外心O，
∵∠BAC=90°，△ABC是不等邊三角形，
∴點Q在平面ABC上的射影恰在直線AP上不正確；
∵QA=QP，∴P為

BC

的中點，∴OP⊥BC，
∵OP是QP在平面ABC上的射影，∴QP⊥BC，
∴

QP

•

PB

=

QP

•

PC

，故②正確；
③QA＞QP，則P在圓內，∠BAC=90°，則BC為直徑，若

BP

CP

=

AB

AC

，則AP為∠BPC的平分線且AP經過點O，與△ABC是不等邊三角形矛盾，故③不正確；
④若QA＞QP，∵AP是∠BAC的平分線，所以P在△ABC內部的概率應該以長度為測度，故④不正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查向量知識的運用，考查命題真假的判斷，綜合性強，難度大．