Question

已知點和拋物線的焦點關于軸對稱，點是以點為圓心，4為半徑的上任意一點，線段的垂直平分線與線段交于點，設點的軌跡為曲線，

求拋物線和曲線的方程；

是否存在直線，使得直線分別與拋物線及曲線均只有一個公共點，若存在，求出所有這樣的直線的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解:（1）依題意,，拋物線的焦點的坐標為,則，

    所以拋物線的方程為，

由于，即，而線段的垂直平分線與線段交于點，則

因此，，且，則點的軌跡為以、為焦點的橢圓，

設的方程為，則，且，解得，，

所求曲線的方程為

（2）若直線的斜率不存在，則直線，與拋物線及曲線均只有一個

    公共點，

若直線斜率存在，設其方程為，若與拋物線及曲線均只有一個公共點，

則及均只有一組解，  

   由消去得 , 則 ①   

   由消去得 ,

   則，即②      

   由①②得，

   即存在直線與拋物線及曲線均只有一個公共點，  

   綜上：存在四條直線,與拋物線及曲線均只有一個公共點．