Question

已知函數f(x)=x³+ax²+bx+c圖像上一點M(1,m)處的切線方程為y-2=0，其中a、b、c為常數.

（1）函數f(x)是否存在單調遞減區間？若存在，則求出單調遞減區間（用a表示）.

（2）若x=1不是函數f(x)的極值點，求證：函數f(x)的圖像關于點M對稱.

Answer 1

（1）解:f(x)=x³+ax²+bx+c，f′(x)=3x²+2ax+b，

由題意，知m=2，f(1)=1+a+b+c=2,f′(1)=3+2a+b=0，

即b=-2a-3,c=a+4.

f′(x)=3x²+2ax-(2a+3)=3(x-1)(x+1+).

①當a=-3時，f′(x)=3(x-1)²≥0，函數f(x)在區間(-∞,+∞)上單調增加，

不存在單調減區間；

②當a＞-3時，-1＜1，有

x	(-∞,-1)	(-1,1)	(1,+∞)
f′(x)	+	-	+
f(x)	↑	↓	↑

∴當a＞-3時，函數f(x)存在單調減區間,為［-1,1］;

③當a＜-3時,-1＞1,有

x	(-∞,1)	(1,-1)	(-1,+∞)
F′(x)	+	-	+
f(x)	↑	↓	↑

∴當a＜-3時,函數f(x)存在單調減區間,為［1,-1］.

（2）證明:由（1）知：若x=1不是函數f(x)的極值點，則a=-3，

b=3,c=1,f(x)=x³-3x²+3x+1=(x-1)³+2.

設點P(x₀,y₀)是函數f(x)的圖像上任意一點，則y₀=f(x₀)=(x₀-1)³+2，

點P(x₀,y₀)關于點M(1,2)的對稱點為Q(2-x₀,4-y₀).

∵f(2-x₀)=(2-x₀-1)³+2=-(x₀-1)³+2=2-y₀+2=4-y₀,∵f(2-x₀)=(2-x₀)³-3(2-x₀)²+3(2-x₀)+1

（或=8-12x₀+6x₀²-x₀³-12+12x₀-3x₀²+6-3x₀+1）=-x₀³+3x₀²-3x₀+3=4-(x₀³-3x₀²+3x₀+1)=4-y₀,

∴點Q(2-x₀,4-y₀)在函數f(x)的圖像上.由點P的任意性知函數f(x)的圖像關于點M對稱.