Question

【題目】已知點是雙曲線的左右焦點，其漸近線為，且其右焦點與拋物線的焦點重合.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過的直線與相交于兩點，直線的法向量為，且，求的值

（3）在（2）的條件下，若雙曲線在第四象限的部分存在一點滿足，求的值及的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】

（1）由焦點坐標和漸近線方程可構造關于的方程，解方程求得結果即可得到雙曲線方程；

（2）由直線法向量可得到直線方程，與雙曲線方程聯立得到韋達定理的形式；利用可構造關于的方程，解方程求得結果；

（3）由的值可得到韋達定理的形式，利用弦長公式求得；設，由已知等式可用表示出，代入雙曲線方程可求得，進而得到點坐標；利用點到直線距離公式求得的高，從而求得三角形的面積.

（1）由題意知：拋物線的焦點為

則，解得： 雙曲線的方程為：

（2）由直線的法向量可得其方向向量

由得：

設，，則

由

解得：

（3）將代入式化簡得：，此時

設，由得：

在雙曲線上 ，解得：或

位于第四象限

，又，即

到直線的距離