Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAB與側面SAC均為邊長為1的等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）證明：SA⊥BC；
（Ⅲ）求三棱錐S-ABC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明SO⊥平面ABC，只需證明SO垂直平面ABC內的兩條相交直線BC、AO即可．
（Ⅱ）要證明SA⊥BC，只需證明BC垂直SA所在平面SAD即可；
（Ⅲ）求三棱錐S-ABC的體積，求出底面面積和高即可求其體積．

解答：解：（Ⅰ）由題設AB=AC=SB=SC=SA，連接OA，△ABC為等腰直角三角形，
所以OA=OB=OC=

2

2

SA，且AO⊥BC，又△SBC為等腰三角形，SO⊥BC，且SO=

2

2

SA，從而OA²+SO²=SA²．
所以△SOA為直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．所以SO⊥平面ABC．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SO⊥BC，AO⊥BC，SO∩AO=O得，BC⊥平面SAO；
而SA?平面SAO，所以SA⊥BC．（10分）
（Ⅲ）易知SO=

3

2

，VS-ABC=

1

3

×

1

2

×12×

3

2

=

3

12

．（13分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與直線的垂直，三棱錐的體積，是中檔題．