Question

（2007•楊浦區二模）（理）設虛數z滿足z+

4

z

=a（其中a為實數）．
（1）求|z|；
（2）若|z-2|=2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可先令虛數z=x+yi（x，y∈R且y≠0），代入z+

4

z

=a，整理后令虛部為0，解出x²+y²=4（y≠0），即可求得此虛數的模；
（2）由|z-2|=2可得（x-2）²+y²=4，與（1）的結論方程x²+y²=4（y≠0）聯立，解此方程組，即可得到復數z，代入z+

4

z

=a即可解出a的值

解答：解：設z=x+yi（x，y∈R且y≠0）（2分）
則z+

4

z

=x+yi+

4x-4yi

x2+y2

=a∈R
∴y-

4y

x2+y2

=0（4分）
∴x²+y²=4（y≠0），即|z|=2； （6分）
又|z-2|=2得　（x-2）²+y²=4，與x²+y²=4（y≠0）聯立
解得x=1，y=

3

或x=1，y=-

3

∴z1=1+

3i

，z2=1-

3i

（10分）
∴a=z+

4

z

=2  （12分）

點評：本題考查復數代數形式的混合運算，考查復數的乘法，求復數的模，復數求模公式，解題的關鍵是用待定系數法設出復數的代數形式，以及理解虛數z滿足z+

4

z

=a（其中a為實數），得出虛部為0，從而得到復數的實部與虛部所滿足的方程．本題考查了待定系數法，其特征是所研究的對象性質已知，可根據其性質設出它的解析式．