Question

已知圓O：x²+y²-4=0，圓C：x²+y²+2x-15=0，若圓O的切線l交圓C于A，B兩點，則△OAB面積的取值范圍是（　　）

• A、[2

  7

  ，2

  15

  ]
• B、[2

  7

  ，8]
• C、[2

  3

  ，2

  15

  ]
• D、[2

  3

  ，8]

Answer 1

分析：△OAB面積的大小與線段AB的大小有關，要求△OAB面積的取值范圍，只需求出AB的范圍，即可求解．

解答：解：圓O的切線l交圓C于A，B兩點，則△OAB面積，S=

1

2

AB•r，
圓O：x²+y²-4=0，的半徑為r=2，AB是圓C：x²+y²+2x-15=0的弦長，
圓C：x²+y²+2x-15=0的圓心（-1，0），半徑為：4，
圓心到AB的距離最小時，AB最大，圓心到AB的距離最大時，AB最小，如圖：
AB的最小值為：2

42-32

=2

7

；
AB的最大值為：2

42-12

=2

15

；
∴△OAB面積的最小值為：

1

2

×2×2

7

=2

7

．
∴△OAB面積的最大值為：

1

2

×2×2

15

=2

15

．
△OAB面積的取值范圍是：[2

7

，2

15

]．
故選：A．

點評：本題考查兩個圓的位置關系，直線與圓的位置關系，考查計算能力．