Question

已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）．

試題分析：(1) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再求切點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)斜式直線方程求切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)分析原函數(shù)的單調(diào)性，注意在解不等式時(shí)需要對(duì)參數(shù)的范圍進(jìn)行討論；(3)根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值，根據(jù)其圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定兩個(gè)函數(shù)極值的大小關(guān)系，然后解對(duì)應(yīng)的不等式即可．
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054907930773.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054908039478.png" style="vertical-align:middle;" />
所以所求切線方程為，即              2分
（2）
①若，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，
單調(diào)遞增區(qū)間為                            4分
②若，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為                      5分
③若，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，
單調(diào)遞增區(qū)間為                            7分
（3）由（2）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
所以在處取得極小值，在處取得極大值    8分
由，得
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
故在處取得極大值，在處取得極小值       10分
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)
所以，即，所以          12分．