Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），S_n=（m+1）-ma_n對(duì)任意的n∈N^*都成立，其中m為常數(shù)，且m＜-1．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）記數(shù)列{a_n}的公比為q，設(shè)q=f（m）．若數(shù)列{b_n}滿足；b₁=a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*）．求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（3）在（2）的條件下，設(shè)c_n=b_n•b_n+1，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．求證：T_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出a₁=1，根據(jù)S_n=（m+1）-ma_n對(duì)任意的n∈N^*都成立求出S_n=（m+1）-ma_n，S_n-1=（m+1）-ma_n-1（n≥2），兩式相減即可得a_n=ma_n-1-ma_n，整理可證得，于是可證得數(shù)列a_n是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
（2）根據(jù)b_n=f（b_n-1）得到，整理得，據(jù)此可證得數(shù)列是等差數(shù)列，
（3）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后求出數(shù)列{c_n}的表達(dá)式，最后利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和最后可得T_n=1-，于是可以證明T_n＜1．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，∵S_n=（m+1）-ma_n，①
∴S_n-1=（m+1）-ma_n-1（n≥2），②
①-②得：a_n=ma_n-1-ma_n（n≥2），
∴（m+1）a_n=ma_n-1．∵a₁≠0，m＜-1，
∴a_n-1≠0，m+1≠0，∴．
∴數(shù)列a_n是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
（2），
∴，∴，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（3）由（2）得，則．，
==．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和和等差、等比數(shù)列的關(guān)系的確定的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，會(huì)利用裂相消法求數(shù)列的和，本題難度一般．