Question

設函數f（x）的定義域為（0，+∞），且對任意的正實數x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且x＞1，f（x）＞0．
（1）判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調性，并說明理由．
（2）一個各項為正數的數列{a_n}滿足f（s_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N*），其中s_n是數列{a_n}的前n項的和，求數列的通項a_n．

Answer 1

分析：（1）利用f（xy）=f（x）+f（y）?f（xy）-f（x）=f（y），再利用x＞1，f（x）＞0即可得結論．
（2）f（s_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1?2s_n=a_n•a_n+1，再由數列的前n項的和和通項的關系求出通項．

解答：解：（1）y=f（x）在（0，+∞）上為增函數
設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂則f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)
∵x＞1時f（x）＞0∴f（

x2

x1

）＞0?f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，
∴y=f（x）在（0，+∞）上為增函數．（6分）
（2）由f（s_n）+1=f（a_n）+f（a_n+1）
∴f（s_n）+f（2）=f（a_n）+f（a_n+1）
∴2s_n=a_n•a_n+1，當n≥2時，
∴2s_n-1=a_n-1•a_n，兩式相減得：2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0（n≥2）
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）∴a_n=n（8分）

點評：抽象函數性質的證明是一種代數推理，和幾何推理證明一樣，要注意推理的嚴謹性，每一步推理都要有充分的條件，不可漏掉條件，更不可臆造條件，推理過程要層次分明，書寫規范．