【題目】已知函數
.
（1）若對任意
，
恒成立，求
的取值范圍；
（2）若函數
有兩個不同的零點
，
，證明：
.
【答案】（1）
，（2）證明見解析
【解析】
（1）對任意
，
恒成立，可變形為
，因此只要求得
的最大值即可，這可由導數的知識求解；
（2）首先利用導數研究
的單調性，確定零點分布，不妨設
，得
，然后用分析法轉化所要證不等式
為
，由
，這時以退為進，證明
，即證
，現在可構造函數
，
.證明
，這又可用導數證明．
（1）解：由對任意恒成立，得對任意恒成立.
令
，則
.
令
，則
.
在
上，
，
單調遞增；在
上，
，單調遞減.
故
，
則
，即
的取值范圍為.
（2）證明：設，
，則
.
在
上，
，
單調遞增；在
上，
，單調遞減.
∵
，
，當
時，
，且
，
∴
，.
要證，即證.
∵
，，在上單調遞減，
∴只需證明
.
由
，只需證明
.
令，.
，
∵，∴
，
，
∴
，
∴
在
上單調遞增，
∴
，
即
，∴.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某校中小學生人數和近視情況分別如圖所示.為了解該校中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方式從中抽取一個容量為50的樣本進行調查.
（1）求樣本中高中生、初中生及小學生的人數；
（2）從該校初中生和高中生中各隨機抽取1名學生，用頻率估計概率，求恰有1名學生近視的概率；
（3）假設高中生樣本中恰有5名近視學生，從高中生樣本中隨機抽取2名學生，用
表示2名學生中近視的人數，求隨機變量的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
:
和定點
,
是圓上任意一點,線段
的垂直平分線交
于點
,設動點的軌跡為
.
(1)求的方程;
(2)過點
作直線
與曲線相交于
,
兩點(,不在
軸上),試問:在軸上是否存在定點
,總有
?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解運動健身減肥的效果，某健身房調查了20名肥胖者，健身之前他們的體重情況如三維餅圖（1）所示，經過四個月的健身后，他們的體重情況如三維餅圖（2）所示．對比健身前后，關于這20名肥胖者，下面結論不正確的是（ ）
A.他們健身后，體重在區間[90kg，100kg）內的人數不變
B.他們健身后，體重在區間[100kg，110kg）內的人數減少了4人
C.他們健身后，這20位健身者體重的中位數位于[90kg，100kg）
D.他們健身后，原來體重在[110kg，120kg]內的肥胖者體重都至少減輕了10kg
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
．證明：
（1）存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0；
（2）存在唯一x1∈（1，2），使g(x1)＝0，且對(1)中的x0，有x0＋x1<2．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，過點
的直線交拋物線
于
和
兩點.
（1）當
時，求直線
的方程；
（2）若過點
且垂直于直線的直線
與拋物線交于
兩點，記
與
的面積分別為
，求
的最小值.
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