Question

已知等差數列{a_n}的首項為a，公差為b；等比數列{b_n}的首項為b，公比為a，其中a，b∈N₊，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若對于任意n∈N^*，總存在m∈N^*，使a_m+3=b_n，求b的值；
（Ⅲ）甲說：一定存在b使得2an＞bn2對n∈N^*恒成立；乙說：一定存在b使得2an＜bn2對n∈N^*恒成立．你認為他們的說法是否正確？為什么？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，a，b∈N*，知

a+b＜ab ab＜a+2b.

由此能求出a的值．
（Ⅱ）a_m=2+（m-1）b，b_n=b•2^n-1，由a_m+3=b_n得5+（m-1）b=b•2^n-1．由此能求出b的值．
（Ⅲ）若甲正確，則2^{2+（n-1）（b-2）}＞b²對n∈N*恒成立，當n=1時，2²＞b²，無解，所以甲所說不正確．若乙正確，則2^{2+（n-1）（b-2）}＜b²對n∈N*恒成立，當n=2時，2^b＜b²，只有在b=3時成立，而當n=3時2⁴＜3²不成立，所以乙所說也不成立．

解答：解：（Ⅰ）∵a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，a，b∈N*，
∴

a+b＜ab ab＜a+2b.

∴

a＞ b b-1 a＜ 2b b-1 .

∴

a＞1+ 1 b-1 a＜2+ 2 b-1 .

∴

a＞1 a＜4

，
∴a=2或a=3．
∵當a=3時，
由ab＜a+2b得b＜a，
即b₁＜a₁，
與a₁＜b₁矛盾，
故a=3不合題意．
∴a=3舍去，
∴a=2．
（Ⅱ）a_m=2+（m-1）b，
b_n=b•2^n-1，
由a_m+3=b_n，
可得5+（m-1）b=b•2^n-1．
∴b（2^n-1-m+1）=5．
∴b是5的約數，
又b≥3，
∴b=5．
（Ⅲ）若甲正確，
則存在b（b≥3），
使2^2+（n-1）b＞b²•2^2n-2，
即2^{2+（n-1）（b-2）}＞b²對n∈N*恒成立，
當n=1時，
2²＞b²，無解，
所以甲所說不正確．
若乙正確，
則存在b（b≥3），
使2^2+（n-1）b＜b²•2^2n-2，
即2^{2+（n-1）（b-2）}＜b²對n∈N*恒成立，
當n=2時，
2^b＜b²，
只有在b=3時成立，
而當n=3時2⁴＜3²不成立，
所以乙所說也不成立．

點評：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，用兩邊夾的方法確定整數參數．第Ⅲ小題對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．