Question

【題目】武漢出現的新型冠狀病毒是一種可以通過飛沫傳播的變異病毒，某藥物研究所為篩查該新型冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現有份血液樣本，每份樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，則需要檢驗n次；②混合檢驗，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結果為陰性，這k份血液全為陰性，因此這k份血液樣本檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份血液再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陰性還是陽性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為.

（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份為陽性，若采取逐份檢驗方式，求恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；

（2）現取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.

（i）試運用概率統計知識，若，試求P關于k的函數關系式；

（ii）若，采用混合檢驗方式可以使得這k份血液樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求k的最大值.

參考數據：，，，，

Answer 1

【答案】(1) ;(2) （i）,;（ii）4

【解析】

(1)根據排列的方法列式求概率即可.

(2) （i）分別求解,再化簡求時的解析式即可.

（ii）由題,化簡可得,再構造函數求導分析函數的單調性,再根據零點存在性定理求區間端點的正負判斷即可.

(1)設恰好經過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來的事件為,則,故恰好經過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來的概率為

(2) （i）由已知可得,所有可能的取值為.

所以,,

所以.

若,則,所以.

故.

所以P關于k的函數關系式,

（ii）由題意可知,即,化簡得.

因為,所以,即.

設函數.

又,故當時, ,即在上單調遞減.

又,.

故的最大值為4.