Question

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C₁的內切圓半徑為．記C₂為以曲線C₁與坐標軸的交點為頂點的橢圓．

(Ⅰ)求橢圓C₂的標準方程；

(Ⅱ)設AB是過橢圓C₂中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上異于橢圓中心的點．

(1)若|MO|＝λ|OA|(O為坐標原點)，當點A在橢圓C₂上運動時，求點M的軌跡方程；

(2)若M是l與橢圓C₂的交點，求△AMB的面積的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由題意得 　　又，解得，． 　　因此所求橢圓的標準方程為． 　　(Ⅱ)(1)假設所在的直線斜率存在且不為零，設所在直線方程為 　　，． 　　解方程組得，， 　　所以． 　　設，由題意知， 　　所以，即， 　　因為是的垂直平分線，所以直線的方程為，即， 　　因此， 　　又，所以，故． 　　又當或不存在時，上式仍然成立． 　　綜上所述，的軌跡方程為． 　　(2)當存在且時，由(1)得，， 　　由解得，， 　　所以，，． 　　解法一：由于 　　， 　　當且僅當時等號成立，即時等號成立， 　　此時面積的最小值是． 　　當，． 　　當不存在時，． 　　綜上所述，的面積的最小值為． 　　解法二：因為， 　　又，， 　　當且僅當時等號成立，即時等號成立，此時面積的最小值是． 　　當，． 　　當不存在時，． 　　綜上所述，的面積的最小值為．