【題目】設函數
，其中
．
（1）當
時，
恒成立，求
的取值范圍；
（2）討論函數
的極值點的個數，并說明理由．
【答案】（1） 
；
（2） 綜上，當
時，函數有一個極值點；當
時，函數無極值點；當
時，函數有兩個極值點
【解析】
試題分析：（1）求函數的導數
，則
時，
在區間
恒成立
，解此不等式組即可；
（2）令
則求函數
的極值點的個數
求函數
實根的個數，當
時，函數
是常數函數，無根；當
時，討論二次函數
在區間
根的情況即可.
試題解析：（1）
，
令
，要使
，則使
即可，而
是關于
的一次函數，
∴
，解得
或
，
所以
的取值范圍是
（2）令，
當
時，
，此時
，函數
在
上遞增，無極值點；
當
時，
，
①當
時，
，函數
在
上遞增，無極值點；
②當
時，
，設方程
的兩個根為
（不妨設
），
因為
，所以
，由
，∴
，
所以當
，函數
遞增；
當
，函數遞減；
當
，函數遞增；因此函數有兩個極值點，
當
時，
，由
，可得
，
所以當
，函數遞增；
當
，函數遞減；因此函數有一個極值點，
綜上，當時，函數有一個極值點；
當時，函數無極值點；
當時，函數有兩個極值點
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，邊長為4的正方形
與矩形
所在平面互相垂直，
分別為
的中點，
．
（1）求證：
平面；
（2）求證：
平面
；
（3）在線段
上是否存在一點
，使得
？若存在，求出
的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高三年級一次數學考試后，為了解學生的數學學習情況，隨機抽取
名學生的數學成績，制成表所示的頻率分布表.
組號 | 分組 | 頻數 | 頻率 |
第一組 |
|
|
|
第二組 |
|
|
|
第三組 |
|
|
|
第四組 |
|
|
|
第五組 |
|
|
|
合計 |
|
| |
（1）求
、
、
的值；
（2）若從第三、四、五組中用分層抽樣方法抽取
名學生，并在這
名學生中隨機抽取
名學生與張老師面談，求第三組中至少有
名學生與張老師面談的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法中錯誤的是（ ）
A.在三角形中，已知兩邊及其一邊的對角，不能用余弦定理求解三角形
B.余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關系，因此它適用于任何三角形
C.利用余弦定理，可以解決已知三角形三邊求角的問題
D.在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，過點
的直線與拋物線
相交于點
，
兩點，設
，
（1）求證：
為定值
（2）是否存在平行于
軸的定直線被以
為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在，求出該直線方程和弦長，如果不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在三棱錐A－BOC中，OA⊥底面BOC，∠OAB＝∠OAC＝30°，AB＝AC＝4，BC＝
，動點D在線段AB上.
（1）求證：平面COD⊥平面AOB；
（2）當OD⊥AB時，求三棱錐C－OBD的體積.
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