Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋3|－|2x－a|，a∈R.

(1)若不等式f(x)≤－5的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求實(shí)數(shù)a的值.

Answer 1

【答案】(1)(－∞，－8]∪[2，＋∞).(2)a＝1.

【解析】試題分析：

（1）若不等式的解集非空，得，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱， ，即可求實(shí)數(shù)的值.

試題解析：

(1)||2x＋3|－|2x－a||≤|2x＋3－2x＋a|＝|3＋a|，

∵不等式f(x)≤－5的解集非空，

∴－|3＋a|≤－5，

∴a≤－8或a≥2.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－8]∪[2，＋∞).

(2)∵函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，

∴f＋f＝0，

∴|2x＋2|－|2x－1－a|＋|－2x＋2|－|－2x－1－a|＝0，

由于對(duì)任意x為實(shí)數(shù)均成立，∴a＝1.