Question

設函數y=

1

x

圖象上的點與x軸上的點順次構成等腰直角三角形OB₁A₁，A₁B₂A₂，…，直角頂點在函數y=

1

x

的圖象上，設A_n的坐標為（a_n，0），A₀為原點．
（1）求a₁，并求出a_n與a_n-1之間的關系式；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）bn=

2

an-1+an

(n≥2，n∈N*)，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）由題意，a1=

a1

2

+

2

a1

，可得a₁的值，求出B_n的坐標，代入曲線方程，可得結論；
（2）確定數列{an2}是首項為4，公差為4的等差數列，可求數列{a_n}的通項公式；
（3）確定通項，利用累加法可求和．

解答：解：（1）由題意，a1=

a1

2

+

2

a1

，解得a₁=2．
過B_n點作B_nH⊥x軸，垂足為H，
∵△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點，
∴|B_nH|=

1

2

|A_n-1A_n|=

an-an-1

2

，
∴B_n點的縱坐標為

an-an-1

2

，
∵△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點，
∴H點為線段A_n-1A_n的中點，
∴H點橫坐標為

an+an-1

2

，
∵B_nH⊥x軸，∴B_n點的橫坐標也為

an+an-1

2

，
∵B_n點為函數y=

1

x

（x＞0）圖象上的點，
∴

an+an-1

2

•

an-an-1

2

=1
∴an2-an-12=4．
（2）∵an2-an-12=4，a₁=2，
∴數列{an2}是首項為4，公差為4的等差數列，
∴an2=4n，
∴an=2

n

．
（3）∵b_n=

2

an-1+an

=

1

n-1 + n

=

n

-

n-1

，
∴S_n=（

1

-0）+（

2

-

1

）+…+（

n

-

n-1

）=

n

．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，考查函數與數列知識的綜合，確定數列的通項是關鍵．