Question

（08年重慶卷理）（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問7分.）

如題（19）圖，在中，B=,AC=,D、E兩點分別在AB、AC上.使

,DE=3.現將沿DE折成直二角角，求：

（Ⅰ）異面直線AD與BC的距離；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函數表示）.

Answer 1

【標準答案】　　解法一：

　　（Ⅰ）在答（19）圖1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，從而

AD⊥DE.

在第（19）圖2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，從

而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB為異面直線AD與BC的公垂線.

下求DB之長.在答（19）圖1中，由，得

又已知DE=3,從而

    

因

（Ⅱ）在第（19）圖2中，過D作DF⊥CE,交CE的延長線于F，連接AF.由（1）知，

AD⊥底面DBCE,由三垂線定理知AF⊥FC,故∠AFD為二面角A-BC-B的平面

角.

在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,

因此

從而在Rt△DFE中，DE=3,

在

因此所求二面角A-EC-B的大小為arctan

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如答（19）圖3.由（Ⅰ）知，

以D點為坐標原點，的方向為x、

y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（0，0，4），

，E（0，3，0）.

過D作DF⊥CE,交CE的延長線于F，連接AF.

設從而

   ，有

         ①

   又由       ②

   聯立①、②，解得

   因為,故,又因,所以為所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以

   因此所求二面角A-EC-B的大小為

 

【高考考點】本題主要考查直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、異面直線間的距離等知識，考查空間想象能力和思維能力，利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力。

【易錯提醒】

【備考提示】立體幾何中的平行、垂直、二面角是考試的重點。