Question

已知點F（1，0），動點P到直線x=-2的距離比到F的距離大1．
（1）求動點P所在的曲線C的方程；
（2）A，B為曲線C上兩動點，若|AF|+|BF|=4，求證：AB垂直平分線過定點，并求出該定點．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線定義可知曲線C是以F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線，進而可得拋物線的方程．
（2）設AB中點M（1，y₀），先得出直線AB的斜率與其中點坐標的關系，再由垂直得出其垂線的斜率，由點斜式得出中垂線方程，發現其為一過定點的直線，得出此坐標即可．

解答：解：（1）由條件，P到F（1，0）的距離等于到直線x=-1的距離，
所以，曲線C是以F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線，其方程為y²=4x
（2）∵|AF|+|BF|=4，
∴x₁+x₂=2，
設AB中點M（1，y₀），
則kAB=

2

y0

所以中垂線方程為：y-y0=-

y0

2

(x-1)，
它恒過點（3，0）．
故AB垂直平分線過定點（3，0）．

點評：本題主要考查拋物線的應用及過定點的直線方程定點的求法，考查了綜合運用所學知識和運算的能力．