Question

已知函數f(x)=x+

a

x

+b(x≠0)．，其中a，b∈R
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若對于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；討論函數f（x）的單調性即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[

1

4

，1]上的最大值為f(

1

4

)與f（1）中的較大者，對于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，利用函數的最值列出關于a，b的不等關系，從而得滿足條件的b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=1-

a

x2

，
當a≤0時，顯然f'（x）＞0（x≠0），這時f（x）在（-∞，0），（0，+∞）內是增函數；
當a＞0時，令f'（x）=0，解得x=±

a

，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，- a ）	- a	（- a ，0）	（0， a ）	a	（ a ，+∞）
f'（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以f（x）在（-∞，-

a

），（

a

，+∞）內是增函數，在（-

a

，0），（0，

a

）內是減函數
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[

1

4

，1]上的最大值為f(

1

4

)與f（1）中的較大者，對于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，當且僅當

f( 1 4 )≤10 f(1)≤10

，即

b≤ 39 4 -4a b≤9-a

，對任意的a∈[

1

2

，2]成立．從而得b≤

7

4

，所以滿足條件的b的取值范圍是（-∞，

7

4

]．

點評：本題考查了函數的單調性，利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數的單調區間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．