Question

【題目】如圖，在三棱錐S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC= ，D、E分別是SA、SC的中點．
（Ⅰ）求證：平面ACD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵∠ABC= ，

∴BA⊥BC，

建立如圖所示的坐標系，

則C（0， ，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0， ，1），S（0，0，2），

則 =（﹣1，0，1）， =（0， ，0），

=（1，0，1），

則 =（﹣1，0，1）（0， ，0）=0，

=（﹣1，0，1）（1，0，1）=﹣1+1=0，

則 ⊥ ， ⊥ ，

即AD⊥BC，AD⊥BD，

∵BC∩BD=B，

∴AD⊥平面BCD；

∵AD平面BCD；

∴平面ACD⊥平面BCD；

（Ⅱ） =（0， ，1），

則設平面BDE的法向量 =（x，y，1），

則 ，即 ，

解得x=﹣1，y= ，

即 =（﹣1， ，1），

又平面SBD的法向量 =（0， ，0），

∴cos＜ ， ＞= = ，

則＜ ， ＞= ，即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小為 ．

【解析】（Ⅰ）根據面面垂直的判定定理證明AD⊥平面BCD即可證明平面ACD⊥平面BCD．（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求二面角S﹣BD﹣E的余弦值．