Question

在三棱錐P-ABC中，∠APC=∠CPB=∠BPA=

π

2

，并且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC內一點，則M到三棱錐三個側面的距離的平方和的最小值是

 

．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出M到三棱錐三個側面的距離的平方和的最小值．

解答： 解：以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，
建立空間直角坐標系，
由已知得A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），
∴平面ABC為：

1

3

x+

1

3

y+

1

4

z=1，
∴1=（

1

3

x+

1

3

y+

1

4

z）²≤[（

1

3

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²]（x²+y²+z²），
解得x²+y²+z²≥

144

41

．
又M是底面ABC內一點，
∴M到三棱錐三個側面的距離的平方和的最小值是

144

41

．
故答案為：

144

41

．

點評：本題考查點到三棱錐三個側面的距離的平方和的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．