Question

已知點A（－1，0），B（1，－1）和拋物線.，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖.
（1）證明: 為定值;
（2）若△POM的面積為，求向量與的夾角；
(3)證明直線PQ恒過一個定點.

Answer 1

（1）見解析； (2)  ；(3)直線PQ過定點E（1，－4）.

解析試題分析：（1）設點根據、M、A三點共線，
得 計算得到=5；
(2)設∠POM=α，可得結合三角形面積公式可得tanα="1."
根據角的范圍，即得所求.
(3)設點、B、Q三點共線，
據此確定進一步確定的方程，化簡為
得出結論.
試題解析：（1）設點、M、A三點共線，

        2分
                 5分
(2)設∠POM=α，則
由此可得tanα=1.       8分
又        10分
(3)設點、B、Q三點共線，


即              12分


即        13分
由（*）式，代入上式，得
由此可知直線PQ過定點E（1，－4）.                14分
考點：拋物線及其幾何性質，直線方程，直線與拋物線的位置關系，轉化與化歸思想.