Question

設不等式組所表示的平面區域為D_n，記D_n內的格點（格點即橫坐標和縱坐標均為整數的點）個數為f（n），（n∈N^*）
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表達式；
（2）記，試比較T_n與T_n+1的大小；若對于一切的正整數n，總有T_n≤m成立，求實數m的取值范圍；
（3）設S_n為數列b_n的前n項的和，其中b_n=2^f（n），問是否存在正整數n，t，使成立？若存在，求出正整數n，t；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把n=1，2代入即可求出f（1），f（2）的值；再把x=1，x=2代入綜合求出f（n）的表達式；
（2）先利用上面的結論求出T_n的表達式，再對T_n與T_n+1的作商比較，從而求出T_n中的最大值，即可找到滿足T_n≤m時對應的實數m的取值范圍；
（3）先利用b_n=2^f（n）求出數列{b_n}的通項公式，進而求出S_n；把S_n代入，化簡得，再分t=1以及t＞1求出其對應的n即可說明結論．
解答：解：（1）f（1）=3，f（2）=6（2分）
當x=1時，y取值為1，2，3，…，2n共有2n個格點
當x=2時，y取值為1，2，3，…，n共有n個格點
∴f（n）=n+2n=3n（4分）
（2）由
則（5分）
當n=1，2時，T_n+1≥T_n
當n≥3時，n+2＜2n⇒T_n+1＜T_n（6分）
∴n=1時，T₁=9n=2，3時，n≥4時，T_n＜T₃
∴T_n中的最大值為（8分）
要使T_n≤m對于一切的正整數n恒成立，
只需
∴（9分）
（3）（10分）
將S_n代入，化簡得，＜（﹡）（11分）
若t=1時，＜⇒8ⁿ＜，顯然不成立，
若t＞1時，（﹡）式化簡為不可能成立，
綜上，不存在正整數n，t使成立．
點評：本題綜合考查了數列，函數以及不等式，是對知識點的綜合考查．解決本題的關鍵點在于求出f（n）的表達式．