Question

如圖（1），等腰直角三角形的底邊，點在線段上，于，現將沿折起到的位置（如圖（2））．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，直線與平面所成的角為，求長．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）要證線線垂直，可先考慮純線面垂直，要證線面垂直，先找出圖中的線線垂直，使結論得證；（Ⅱ）為方便利用直線與平面所成的角為，可建立空間直角坐標系，利用空間向量相關計算公式建立關于長度的方程，解之即可.
試題解析：（Ⅰ），，，平面，
又，；
（Ⅱ），
分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）

設，則，，，
可得 ，
設平面的法向量，，令，可得，因此是平面的一個法向量，，與平面所成的角為，，即，
解之得：，或（舍），因此可得的長為．