Question

(本小題滿分14分)

   如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為短軸兩的端點為A、B，且四邊形是邊長為2的正方形.

   （Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足MD連結交橢圓于點證明:為定值;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點，若存在，求出點的坐標；若不存在,說明理由.

Answer 1

(本小題滿分14分)

  解：（Ⅰ）由題意,得.

                    ………………………………2分

所求橢圓的方程是.             …………………………4分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，C（-2，0），D（2，0）.       ……………………5分

由題意可設CM:

      ……………………………………6分

由消去y并整理得  …………7分

 

 ………………………………8分

即為定值.          ………………………………………………………10分

(Ⅲ)設

若以MP為直徑的圓恒過DP、MQ的交點，則MQ

           ………………………………………………………12分

由(Ⅱ)可知

 

即    ………………………………………………………13分

存在使得以MP為直徑的圓恒過直線的交點. ………………14分